Herleitung der exakten Planck-Temperatur (c = h = G = k = 1):
atilde siehe Wikipedia
- Strahlungskonstante
1.) Strahlungsära =
Ideales Quantengas p =
rho*c^2 / 3 = F_planck / (8*pi*R^2) =
atilde*T^4 / 3 (F_planck = c^4/G)
atilde = 8*pi^5 / 15 => T_planck^4 = (45 / 64*pi^6) => T_planck =
1 /
6.08088337383 ~ 1 / 6
=> T_planck = 5.84022663e31 Kelvin
2.) Kinetische Energie für
relativistische Teilchen Ek
~ 3*k*T_planck ~ m_planck*c^2 / 2
3.) Energiebilanz E_planck
= m_planck*c^2 = h*ny = 6.081*k*T_planck
4.) Telchendichte zur
Planck-Zeit: n_planck = 16*pi*zeta(3)*k^3*T_planck^3 / (h*c)^3 =
4.0411525e102 1/m^3
5.) Teilchenzahl im
Planckvolumen V_planck = 4*pi*L_planck^3 / 3 [L_planck =
sqrt(h*G/c^3)]
N_planck = V_planck * n_planck =
1.12559841369
6.) Innere Energie
U_planck = E_planck / 2 = N_planck*2.701*k*T_planck
7.) Hauptsatz der
Thermodynamik W = U + p*dV = E_planck/2 + F_planck /
(8*pi*R^2)
* 4*pi*R^2 * L_planck = E_planck/2 + E_planck/2 = E_planck
8.) Rotverschiebung der kosmischen
Hintergrundstrahlung
E = 6.081*k*T = h*c/lambda => lambda/L_planck = sqrt(t/t_planck) =
sqrt(R/L_planck)
Schwarzschild-Zeit t = 1967e9 Jahre
Weltradius R = 1.861e28 Meter
9.) Photonenzahl (Quantenzahl) im
Universum:
N_cmb = 1.126 * (t/t_planck)^3/2 = 1.108e94
Photonendichte für T_cmb = 2.725 K => n_cmb = 410.5e6 1/m^3
10.) Entropie im Universum S = E / T ~ t^-1/2 / t^-1^/2 =
const ~ N_cmb
Mit S = -k*ln(P) und S_planck = E_planck / T_planck ~ 6*k folgt S =
k*ld(2^6) => Jedes Photon transportiert 6 Informationen
Referenzen:
[1] Kosmologie in der Planck Ära/Skala mit k=lambda=0 PDF-Dokument
[2] Allgemeine Relativitätstheorie & Thermodynamik PDF-Dokument